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            論小學生數學表述能力的迷失與重塑
            發布時間:2013/12/23 10:17:35  作者:呂程  點擊:3780

            論小學生數學表述能力的迷失與重塑

             

            南京市陶行知小學 呂程

             

            [摘要] 數學表述能力是以數學語言作為基本元素,對數學知識、數學問題進行準確解釋的能力。由于教師忽視數學表述的積極指導、學生缺乏數學表述的有效訓練、教材中缺乏數學表述的直接表述等三個原因導致小學生數學表述能力在日常教學中迷失。在教學中,通過加強數學表述指導、強化數學語言間的互譯、擴大數學閱讀的視野等策略進行數學表述能力的培養。

             

            [關鍵詞] 數學表述能力  內涵  迷失  策略

             

            新一輪的基礎教育改革從實驗到實施已經過了十個年度,在這個十年中,新課改給基礎教育帶來了全新的面貌,無論是理念上還是實踐指導意義上,讓教師專業化發展和學生知識能力都享受到了新課程帶來的成長與促進。但在此大背景下,在教學中也出現了新的問題。近年來,筆者與眾多初中數學教師教學交流中,經常聽到這樣一種聲音:新課程改革以后,小學畢業生的數學解決問題的能力在逐年提高,但運用數學語言的能力卻在不斷降低。這個問題值得每一個從事中小學數學的教學教研人員反思。

            數學語言是學習數學最基礎的元素,也是學習數學最主要的工具。每一堂數學課的教學、每一個數學問題的解決都必須以數學語言表述貫穿始終。正因為此,前蘇聯的數學教育家斯托利亞爾認為:數學教學就是數學語言的教學。其實在最新的2011版《義務教育數學課程標準中》特別提出:要做到“在正確運用數學表述過程中,認識具有抽象、嚴謹和應用廣泛的特點,體會數學的價值[1]”;放眼國際數學教育視野,俄羅斯課程標準中也提到:掌握數學語言,具有一定的數學素養,會大大拓展現代文化人交流的可能性[2]。本研究將對數學表述能力的內涵,其能力迷失的原由以及提高其能力的策略進行進一步的闡述。

             

            一.數學表述能力的內涵

            對于數學表述能力(Mathematical expression competence)的研究,尤其是近年來一直作為熱點話題在討論.研究數學表述能力的內涵,首先要對數學表述的內涵進行界定。數學表述在數學學習活動具有著舉足輕重的作用,李雅云、李寶慶認為數學表述是基于文字語言、符號語言和圖式語言的活動[3]。趙林的研究中提到數學表述包括口頭表達、文字表述、符號表達、圖式表達等形式,數學表述能力是數學學科能力的最佳體現和反應[4]。從國外的研究來看,美國Texas教育署的研究首先給出了數學表述類型的界定,其認為數學表述包括數字表述、圖像表述、語言表述、符號表述和雙重表述5 類[5]:(1)數字表述是指運用各種具體的數值,如小數、分數、百分數等進行表達,還包括使用數值表,如用一列數表示結果的概率.(2)圖像表述包括圖畫、模型、圖表(如線段圖、集合圖、坐標圖)等表現形式.(3)語言表述在此是指用書面語言文字去描述、分析、解釋或反映數字、圖像表述的內容,但是不包括用以表達解題思路或解釋方程、表達式中某個符號意義的簡單語句.(4)符號表述集中于使用象征性符號和變量、公式,包括等式(方程)、式子、代數方程式、代數式和公式.(5)雙重表述是指包括上述兩種表述類型的表述方法,如下圖 所示,箭頭將兩類表述類型連接起來形成了虛線框中的雙重表述,包括數字列表/語言、模型/代數方程式、橫向圖表/語言、縱向圖表/語言、坐標圖/代數方程式、語言/公式、語言/圖畫7種表述組合(見下圖)。

            所以綜上所述,數學表述能力就是以數學語言作為基本元素,對數學知識、數學問題進行準確解釋的能力。該能力是學生學習數學的一種基礎性的能力,對學生進行數學知識的學習起到輔助性的作用。數學語言是一門高度抽象的專業語言,熟練的掌握數學表述能力才能更有利于數學交流,同時使數學思維的生長外顯化。

             

             

            二. 數學表述能力迷失的淵源

            1.  教師忽視數學表述的積極指導

            由于新課改以來,各種書籍、雜志、講座中無不提到一個熱門詞匯“建構主義”,于是廣大基層教師將自己曲解的“建構主義”理念融入數學課堂。其表現為在學生問答問題的時候,缺乏對數學語言的指導,只要答的基本正確,其他的同學能聽懂,就是最好的答案。這種現象在如今的課堂教學中不在少數,危害在于使教師忽視了學生數學表述能力的培養,無法形成對數學語言精確和嚴謹的態度。

            2.  學生缺乏數學表述的有效訓練

              無論是人文科學語言,還是數學語言,其語言的培養都離不開必要的訓練,在正確的練習中體會語言表述的運用是培養數學表述能力的一條捷徑。數學表述能力的訓練主要來源于課堂,以及作業的練習之中。數學語言具有形式化這一主要特征,所以學者Brenner認為在兒童的數學表述能力的培養需要模仿和訓練的過程[6]。從數學教育心理學的角度來說,義務教育段尤其是前兩個學段是形成數學語言意識和能力的關鍵期。有些數學教師忽視了數學語言的訓練,降低了訓練的要求,只追求運算結果的正確,導致數學表述能力的提高受阻。

            3.  教材中缺乏數學語言的直接表述

            我國著名教育家葉圣陶老先生曾說過:教材是學習最好的老師。國家新課程實施以來,全國各省市已有8套教材正在使用?v觀不同的教材,雖都是以課程標準規定的內容作為教材編寫的來源,但內容的呈現方式卻有所不同。有的教材過分突出淡化概念,一些核心概念或運算法則沒有用數學化的語言進行表述,例如教學乘法分配律,有的教材并未給出該運算律的文字語言法則。從教學實踐的角度,未給出法則可以讓學生用自己的語言建構新知,大多數學生圖簡便僅僅會死記硬背(a+b)×c=a×c+b×c這一字母表示形式來記憶法則,但遇到運用法則解決問題,出錯率相當高,原因在于記憶法則不等于理解法則,對于四年級的小學生而言,精確的文字語言法則表述對于理解法則來說是必要的。從習得數學語言的角度,該種教材的編排不利于學生形成語言間的互譯從而理解法則的內涵,更無法從教材中高效提高自身的數學表述能力。

             

            三.培養數學表述能力的教學策略研究

            胡良華在研究中對小學生的數學表述情況已有量化分析,數據表明能準確、規范地使用數學語言的僅占37%, 使用一般及較差者占63%, 能夠運用數學語言進行交流的學生更是鳳毛麟角[7]?梢娊處熢诮虒W中,豎立培養數學表述能力的意識,充分發揮教師在教學過程中的能動性,讓學生在建構知識的過程中享受數學表述能力的培育。具體策略如下:

            1.加強數學表述指導,規范數學語言表述。

            在學校教育的層面,教師起到的主導作用對學生,尤其是小學生的數學表述能力的形成保障。根據皮亞杰的認知發展理論,小學階段正處于具體運算階段和形式運算階段初期,學生個體剛剛開始運用數學語言符號對問題和現象進行系統思考和表述,具有表象思維和初步的邏輯思維能力以及零散的可逆運算能力。此時的數學語言的掌握情況以及表述運用的能力,將大大影響學生后期數學知識的學習,因此教師在現階段的日常教學中,進行數學表述的指導非常重要。

            ① 加強數學語言語義和句法的教學

            數學學科具有學科的獨立性的一方面在于數學領域存在著由數字、字母、字符串等組成的數學符號以及數學專屬的法則與術語,所以教師在教學中需要強化術語本身的認識。對此,筆者認為在日常的教學過程中,出現數學專業語義或句法時要及時給以說明和鞏固。比如在低年段教學除法的時候,立即強調“除”和“除以”、“整除”和“除盡”的區別;再如在《認識鐘表》的教學中,應當隨機給出“15小時”和“15時”的比較練習,讓學生對“小時”和“時”概念進行區分的同時理解數學語言,掌握數學語言,才能優化數學表述。

            ② 明確數學語言表述的規范

            沒有規矩,不成方圓。學生在對數學知識和問題能夠準確、完整的表述,需要教師在教學中對數學語言語句給以明確的規范。研究表明數學學困生和學優生一個很重要的區別在于數學學習習慣有顯著性差異,其中學困生的數學表述知識匱乏以及缺少數學語言規范是重要的方面[8],表現為數學符號混用、數學符號讀寫錯誤、數學專用術語混淆等等。例如在教學五年級《確定位置》時(5.3),很多學生就直接讀53,正確讀法應讀作“數對5(停頓一下)3”,“數對”表示在確定位置,停頓一下可以區分x軸和y軸的方位;非負數和正數,自然數和正整數,讓學生比較后明確兩類數之間差別在于相差一個0;“相消”和“相約”、“單位長度”和“長度單位”、“最大值”與“極大值”,僅僅一字之差或者只是詞語調換了順序,含義卻大相徑庭。還有學生將日常的生活語言回答課堂上的數學問題,造成數學語言與生活語言的混淆等等。學生在規范的數學表述學習中,可以感悟數學語言的科學,從而準確、簡潔的表征問題、解決問題。

             

             

            2.強化數學語言間的互譯,在互譯聯系中體會嚴謹。

            數學表述的不同形式,本質上就是數學表征的多元化。數學多元表征既是數學表述多樣性的理論基礎,同時又是作為學生習得多種數學表述類型的一種重要策略。從數學學習心理學的角度來看,不同思維形式之間的轉換及其表達方式構成了數學學習的核心[9]。進一步說,從學生習得知識的層面,對知識運用不同形式的數學語言進行表述,從不同的角度對知識進行剖析,讓抽象的、內隱的知識在多元化的表述中得以變抽象為具體、變內隱為外顯。簡言之,互譯訓練可以加深學生對知識本身的理解,同時建構了學生的數學表述知識,使其數學表述在互譯訓練中得以準確化、自動化。例如,在教學平行、相交時候,需要學生掌握平行、相交和垂直三者之間的關系,當四年級的學生一時用文字語言無法明確表述的時候,可以引導學生用自己喜歡的方式去表達三者的關系,在小組討論的基礎上,會得到圖形語言的數學表述,在此基礎上再引發對文字語言的理解,使得學生在文字語言和圖形語言的轉換中,進一步建構知識。再如在解決問題的教學中,引導學生從文字語言的信息與圖形語言(線段圖等)的角度進行對問題的表述,讓學生在數行結合思想方法中提高了解決問題能力的同時,規范了圖形語言的表述,增強了文字語言的理解能力。

             

            3.擴大數學閱讀的視野,建構正確的數學表述。

            數學閱讀是從數學文本中獲取意義的積極的認知心理過程。數學閱讀的過程,需要學生將本文中的數學語言進行信息編碼,使其通過不同形式的語言之間互譯、轉換內化為學生自身的認知結構[10]。通過擴大數學閱讀的視野,讓學生的數學語言得到更多的充盈,同時在豐富的互譯訓練、綜合理解的過程中,每種形式的數學表述類型知識得到進一步的拓展。以符號表述為例,在小學階段符號表述蘊含了豐富的代數思想,相關知識內容如字母表示數等,作為了溝通小學數學知識與初中代數內容的重要橋梁。同時運用數學符號表示數學抽象物這一新的領域,對于小學生而言,尤其是中年級的學生是有一定的難度的。筆者通過實踐研究,發現增加閱讀視野對表述能力的建構有著很大裨益。數學閱讀提高的可行策略,主要兩個層面。一是閱讀教材。教材中本身蘊含了準確的數學表述,比如數學概念定義、數學公式、例題練習等。概念定義和公式的閱讀,有助于學生掌握數學知識的本質內涵,同時讓學生自身的表述能力的加強起到促進作用。數學例題的閱讀,則有助于學生領悟問題解決的過程性知識,例如在四下學習《字母表示數》一節的例題,要求學生將數字代入字母表達式進行計算,該例題的閱讀讓學生進一步明確字母表示數的現實意義,但更重要的是讓學生能在今后的代數學習中準確的表述數字代入的過程。同樣是培養學生正確表述數學運算過程,低年段的計算教學的程序性知識例題的閱讀的重要性更是如此。二是閱讀課外數學讀物。以江蘇省小學生為例,通過筆者多個城市的調查,學生在教材以外往往都征訂了配套數學教材學習的數學報紙。報紙的除了相關配套練習以外,設有多個數學欄目,有解決問題的巧妙方法、運算小技巧以及所學內容的數學史知識。在這些輔助內容里,數學表述的要求更加規范,同時是日常數學內容的補充和延伸。有效的閱讀這些拓展內容,擴大數學視野的同時,可以進一步對學生的課堂學習的數學表述進行強化,有趣的語言和案例同時也增加了對數學學習的興趣。

             

             

              結語

              數學表述能力在近幾年的國際數學教育大會(ICMI)上,被多國數學教育學者廣泛討論。同時歷年的PISA考題數學部分,也一向注重學生數學表述能力的考察?梢姅祵W表述能力的培養應作為我們數學教育工作者日常教學的重要組成部分。通過多年的實踐,筆者認為在培養數學表述能力方面,有兩個方面值得注意:

            一、注重數學表述能力的培養,不能只囿于數學表述的形式。

            前文的綜述中提到數學表述劃分為五種具體表述類型,學生的數學表述能力需要從這五個層面進行培養。但培養數學表述能力,并不意味教師僅僅一味的讓學生機械的記憶公式,通過題海戰術讓學生掌握數學表述的格式規范。數學教學的靈魂,在于讓學生領悟數學知識的本質,以及知識中所蘊含的數學思想方法。數學表述能力是進一步學習數學的基礎性能力,是一種工具性的能力,同時也應該是伴隨著知識理解的基礎上進行培養的。

             

            二、育數學表述能力于每一個教學細節之中。

            學校教育是學生獲得知識的主要方式。然而是不是數學表述能力的培養就應該在每天的課堂之上?答案是否定的。從教育史的角度分析,赫爾巴特的班級授課制給課堂教學創造了高效率的奇跡,因此數學表述能力可以在課堂教學中系統知識的學習中得以生長。然而學生是一種創造性的個體,教師布置的一道課后有價值的習題、教師課后的循循善誘而又準確的答疑,或許也可以給學生留下頓悟的空間,在自身元認知的監控下得以建構數學表述能力。

             

             

             

             

             

             

             

             

             

             

             

             

             

             

            參考文獻:

            1. Национальный  стандарт  общеобразовательной  Подготовки [EB/OL],

            http://www.edu.ru/portal/obscheel/index.htm.2006-11-16

            2.Texas Education Agency, Texas Administrative Code. Texas Essential Knowledge and Skills for Mathematics [DB/OL], http://ritter.tea.state.tx.us/rules/tac/chapter111/index.html.

            3. Brenner. Learning by Understanding: The Role of Multiple Representations in Learning Algebra [J]. American Educational Research Journal, 1997, (34): 663–689.

            4. 中華人民共和國教育部制定. 義務教育數學課程標準(最新2011年版)[M].北京師范大學出版社:146

            5. 楊紅萍 喻平.數學語言對數學閱讀的影響研究[J].數學通報.2010,9:19-20

            6. 李雅云 李寶慶. 小學生數學語言學習的調查研究[J].教學與管理.2011,10:20-21

            7. 趙林.提高學生數學語言表達能力的認識與思考[J].江蘇教育學院學報(自然科學版).2011,482-83

            8. 陳家梅.數學符號語言與學生思維的發展.[J]數學大世界.2009,645-46

            9. 胡良華. 小學生數學課堂語言表達的調查與分析[J].和田師范?茖W校學報, 2005: 1

             

            The Loss and Regression of Primary students’ Mathematical Expression Competence

            [Abstract] Mathematical expression competence is based on a mathematical language as the basic elements of mathematical knowledge, mathematical problems, accurate interpretation ability. The teacher ignored mathematical representations of positive guidance, students lack the mathematical formulation of effective training, teaching lack of mathematical representations of the direct interpretation of three reasons for pupils' mathematical expression ability in daily teaching. In the teaching, through strengthening mathematical representations of guidance, strengthen mathematical language translation, expand the mathematical reading vision strategies such as mathematical expression ability.

            [key words] mathematical expression competence ; meaning; loss; strategy



            [1] 中華人民共和國教育部制定. 義務教育數學課程標準(最新2011年版)[M].北京師范大學出版社:146

            [2] Национальный  стандарт  общеобразовательной  Подготовки [EB/OL],

            http://www.edu.ru/portal/obscheel/index.htm.2006-11-16

            [3] 李雅云 李寶慶. 小學生數學語言學習的調查研究[J].教學與管理.2011,10:20~21

            [4] 趙林.提高學生數學語言表達能力的認識與思考[J].江蘇教育學院學報(自然科學版).2011,482-83

            [5] Texas Education Agency, Texas Administrative Code. Texas Essential Knowledge and Skills for Mathematics [DB/OL]. http:// ritter.tea.state.tx.us/rules/tac/chapter111/index.html.

            [6] Brenner. Learning by Understanding: The Role of Multiple Representations in Learning Algebra [J]. American

            Educational Research Journal, 1997, (34): 663–689.

            [7] 胡良華. 小學生數學課堂語言表達的調查與分析[J].和田師范?茖W校學報, 2005: 1

            [8] 楊紅萍 喻平.數學語言對數學閱讀的影響研究[J].數學通報.2010,9:19-20

            [9] 陳家梅.數學符號語言與學生思維的發展.[J]數學大世界.2009,645-46

            [10] 楊紅萍 喻平.數學語言對數學閱讀的影響研究[J].數學通報.2010,9:19-20

               

                       (本文已被中國人民大學復印資料中心《小學數學教與學》全文收錄)


            分類:精品課程 > 靈動數學
            來源:本站原創
            編輯:呂程
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            網友評論
            【第1/1樓】胡曉娟 2014/10/7 10:54:01
            認知層面與操作層面的有機結合,才能真正落實對學生表述能力的培養。我們一起加油吧!
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